什么是“二进制”及相关的几个有意思的问题

对于文科生而言，理解二进制是一件从骨子里觉得自己不可能理解的计算机知识点。

但其实这个知识点很有趣，我希望能够用尽可能简单的方式来解释清楚。

一、什么叫做“进”

我们经常讲的二进制、十进制、十六进制、六十进制......都有个“进”字儿。最好理解“进”的是我们平时使用的十进制：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、停！

怎么着？怎么不继续数了？不应该是接着数10吗？

不。得分析一下。

我们按照十进制去数数的时候，一共就只有10个数儿，分别是0到9。（注意哈，0-9是十个数儿哈）

既然十进制是十个数儿，那9之后肯定要从这10个数儿里选，而且还不能选一个数儿，得选俩数儿，因为一个数儿都用完了。

如果选俩数儿，就得从最小的俩数开始选，这两个数就是：0和1。

但又不能是01，只能是10。

所以9后面就是10。

这就是“进”。

二、二进制

前面讲了十进制，十进制一共涉及到10个数字，那么二进制就是涉及到两个数字：0和1。

在二进制里面数数的时候还是从0开始数，第二个数儿是1：

0、1、停

那么1之后应该是什么呢？

按照前面讲的“进”的方式，1后面的数字肯定是两位（因为0和1都是一位），而且必须由0和1组成。

01肯定不行，因为01就是1，00也不行，00就是0。

所以只能是：10

0、1、10

10之后呢？肯定要把后面的0替换成1，所以是11。

0、1、10、11

那11之后呢？现在由0和1组成的两位都已经用完了，只能是跟一个三位数字，而这个三位数字又必须是由0和1组成。

000是3位，但000就是0。

001也是3位，但001就是1。

010也是3位，但010就是10.

可见，这个三位数字肯定得是1开头，不能是0开头，得是：

1**

那后面两位数是什么呢？

肯定是0和1组成的两位数，那我们就从00开始：

100

因此：

0、1、10、11、100、.......

按照这样的计算方法，我们就能自己把二进制的数儿一个个排出来了。

三、幂（指数）

虽然这个帖子的标题是讲二进制是什么，而我们已经解释清楚二进制是什么把数字表示出来的了，但为什么还要讲“幂”呢？

因为，要想进一步理解二进制的使用，还得讲一些幂是什么。

高中数学里幂和指数经常混为一谈。

我们可以这样理解二者的区别：

2的3次方（写作：2^3）

我们求2的2次方的过程就叫做：幂（Power）运算。

英文是这样解释的：

An expression that represents repeated multiplication of the same factor is called a power.

其中2是底（base），3是指数（exponent）

英语读作：2 to the power of three

汉语读作：2的3次方或者2的3次幂

好的，把上面这两个容易混淆的概念解释清楚后，我们来看十进制与这个概念有啥关系：

999

这是一个十进制的数字999，一共有三位：百位、十位和个位，对应的数字分别是：100、10和1

所以：999 = 9*100 + 9*10 + 9

我们用的是十进制，所以我们可以通过10为底的幂运算来分别获得100、10和1，即：

10^2 = 100 (10的2次方)

10^1 = 10 （10的1次方）

10^0 = 1（10的0次方）

那么我们接下来再看二进制：

10101

我们可以用同样的方法来表示，但区别是这回的底是2，而不是10：

1*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 =

16       +0         + 4       +0        +1        =

21

所以二进制10101对应的十进制就是21

通过这个例子我们可以轻松完成二进制到十进制的转换，不过这个还只是让大家更容易理解如何把幂运算与进制结合到一起。

我们接下来再看一个问题：

如果给你4个盒子，每个盒子里只能装1或者0，那么这4个盒子一共能有多少种排列的可能？

你可以手动计算：

0000

0001

0010

0011

.......

但是我们可以这样运算：

四个盒子如果都是1就是：1111

用以2为底的幂运算计算：

1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 =

8       + 4       + 2       + 1       =

15

也就是说这四个盒子能存储的最大的十进制数字是15，而最小的十进制数字是0（对应的二进制是0000）

而0到15一共是16个数字，所以四个盒子一共能有16中排布方式，而16又恰好是2^4（2的4次方），15就是：2^4 -1 (即16-1）

这些排布方式对应的十进制范围就是：0 到 2^4 -1

那么换一个问题：

如果有32个盒子，那么这32个盒子能有多少种排列呢？

根据上面的计算，对应的十进制范围就是：0 到 2^32 -1 

即：0 到 4294967295

那我们现在再出一个新的问题：给你4个盒子，第一个盒子可以填正号（+）或者负号（-），后面的三个盒子则每个盒子可以填写0或者1，那么请问：这4个盒子一共有多少种排序，其中对应的正数有多少个，负数有多少个？

这个问题应该很简单吧？

假如第一个盒子是正号，那么剩下三个盒子的最大数就是：2^3 -1，如果第一个盒子是负号，那么剩下的三个盒子的最大数也是：2^3 -1

同理，如果是32个盒子呢？

如果是32个盒子，那么第一个盒子是正号，剩下的31个盒子的最大数就是：2^31 -1；如果第一个盒子是负号，那么剩下的31个盒子的最大数依然是：2^31 - 1

因此这32个盒子能够显示的最小的负数就是： -(2^31 -1)，能够显示的最大的正数就是：2^31 -1

好了，现在，我们再给大家换一种描述的方法，把“盒子”改成：“位”（bit）

如果计算机上的一个存储空间有32位（32 bits），那么请问，这个存储空间能够存储的最大的整数是什么？

如果这个存储空间的第一位必须是正号或者负号，那么这个存储空间能够存储的最大的整数又是什么？

希望大家已经可以自己计算出来了。

四、UTF-8和UTF-16

有了上面的知识，我们知道其实“位”（bit）就是个盒子，因为盒子就是用来存储东西的空间嘛。计算机里也是有存储空间的，计算机里的存储空间也是盒子，这些盒子只能存储0和1，而不能存储英文字母和汉字。

为了能够存储英文字母和汉字，就只能让所有的英文字母和汉字都有对应的0和1，即二进制。

那我们就这样来安排，用三位吧（3 bits)

000  -> a

001  -> b

010  -> c

......

111 -> g

完了，3位只能表示到g，可我还有那么多个英文字母呢，而且我还有那么多个标点符号呢？

由于早期的计算机是美国人做的，所以他们只想用来表示英文字母和标点符号，然后他们发现7位就可以了：

（二进制）1111111 =（十进制）127

7个盒子能够表示的最大数是127，最小的数是0，所以7位可以用来表示128个符号。

但是计算机里一个字节（Byte）等于8位（bit），得凑个整呀？

于是就规定了第一位是0，其他的位可以是0，也可以是1。

这就有了最早的文字编码方式：ASCII（美国信息交换标准代码）

可这种编码方式只能表示英文字母和标点符号，汉字和其他语言都表示不了，所以ASCII只能美国人自己玩儿，其他国家的人还得搞出新的编码方式，像汉字这种7位肯定不够，得多加一点儿。

于是汉字的编码就搞了2个字节（2 Bytes），因为1个字节是8位，所以2个字节就是16位。

好家伙，你自己算算16个盒子能有多少个排列？ 给你个参考：2的16次方 = 265536 

完全够了！

于是，汉字就采取了双字节的方式来编码。

这人啊一旦有了钱，就会为所欲为。16个盒子怎么能够？我要32个盒子、64个盒子！

于是就有人想，能不能用尽可能多的位数来表示编码文字呢？这样人类有多少儿符号都能给它编码。

然而，并不是位数越多越好，因为土豪有的时候过于浪费，如果你用32位，也就是4个8位，加入表示第一个英文字母a，就得是这样：

00000000 00000000 00000000 00000000

这么多个0，你受得了吗？

你要是受得了，计算机还受不了呢。

于是，人们就想怎么才能节约一些空间，少用一些0。

所以有些符号（比如英文），就用8位来表示吧，有些符号就用16位来表示吧。

这里面还有很多知识，我这里就不多介绍了。

总之，UTF-8的8是8位的意思，UTF-16的16是16位的意思。

现在你写的网页、代码，大部分的符号都涵盖到了UTF-8这种编码方式里，所以你把文件的文字编码方式选为UTF-8就大概率不会出现乱码了。

之所以出现乱码，就是因为你想显示的文字并没有对应的二进制编码。